Комплекстүү санды табигый даражага чыгаруу

Бул басылмада комплекстүү санды кантип чоңдукка чыгарууну (анын ичинде Де Моивр формуласын колдонуу менен) карап чыгабыз. Теориялык материал жакшыраак түшүнүү үчүн мисалдар менен коштолот.

Комплекстүү санды күчкө көтөрүү

Биринчиден, комплекстүү сандын жалпы формасы бар экенин унутпаңыз: z = a + bi (алгебралык форма).

Эми биз түздөн-түз маселени чечүүгө киришсек болот.

Чарчы саны

Биз даражаны ошол эле факторлордун продуктусу катары көрсөтө алабыз, анан алардын продуктусун таба алабыз (аны эстеп жатып i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Мисал 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Сиз ошондой эле колдоно аласыз, тактап айтканда, сумманын квадраты:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – б²

Эскертүү: Ушундай эле жол менен, зарыл болсо, айырманын квадраты, сумманын/айырманын кубу ж.б. формулаларды алууга болот.

N-даража

Комплекстүү санды көтөрүңүз z натуралай n ал тригонометриялык түрдө көрсөтүлсө алда канча жеңил.

Эсиңиздерге сала кетсек, жалпысынан сандын белгилениши мындай болот: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Экспонентация үчүн колдонсоңуз болот Де Мойврдын формуласы (Англис математиги Авраам де Моврдун атынан ушундай аталып калган):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Формула тригонометриялык формада жазуу жолу менен алынат (модулдар көбөйтүлүп, аргументтер кошулат).

мисал 2

Комплекстүү санды көтөрүңүз z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) сегизинчи даражага чейин.

чечим

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).