Ферманын кичинекей теоремасы

Бул басылмада биз бүтүн сандар теориясынын негизги теоремаларынын бирин карайбыз –  Ферманын кичинекей теоремасыфранцуз математиги Пьер де Ферманын ысымы менен аталган. Биз ошондой эле берилген материалды консолидациялоо үчүн маселени чечүүнүн мисалын талдайбыз.

Теореманын билдирүүсү

1. Баштапкы

If p жөнөкөй сан болуп саналат a менен бөлүнбөй турган бүтүн сан pошондо a^б-1 - 1 менен бөлүнөт p.

Ал расмий түрдө мындайча жазылган: a^б-1 ≡ 1 (каршы p).

Эскертүү: Жай сан – бул XNUMX га гана жана өзүнө калдыгы жок бөлүнүүчү натурал сан.

Мисалы:

• a = 2
• p = 5
• a^б-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• сан 15 менен бөлүнөт 5 калдыгы жок.

2. Альтернатива

If p жөнөкөй сан болуп саналат, a анда каалаган бүтүн сан a^p салыштырмалуу a модулу p.

a^p ≡ а (каршы p)

Далилдерди табуу тарыхы

Пьер де Ферма теореманы 1640-жылы түзгөн, бирок аны өзү далилдеген эмес. Кийинчерээк муну немец философу, логики, математики, Готфрид Вильгельм Лейбниц ж.б. жасаган. Ал эч качан жарыяланган эмес, бирок 1683-жылы далилдери болгон деп эсептелет. Белгилей кетчү нерсе, Лейбниц теореманы мурда эле формулировкаланганын билбестен өзү ачкан.

Теореманын биринчи далили 1736-жылы басылып чыккан жана ал швейцариялык, немис жана математик жана механик Леонхард Эйлерге таандык. Ферманын кичинекей теоремасы Эйлер теоремасынын өзгөчө учуру.

Проблеманын мисалы

Сандын калган бөлүгүн табыңыз 2¹² on 12.

чечим

Бир санды элестетип көрөлү 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 бул жай сан, демек, Ферманын кичинекей теоремасы боюнча биз:

2¹¹ ≡ 2 (каршы 11).

Демек, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (каршы 11).

Ошентип, саны 2¹² менен бөлүнөт 12 калган менен барабар 4.