Функциянын чеги деген эмне

Бул басылмада биз математикалык анализдин негизги түшүнүктөрүнүн бири – функциянын чеги: анын аныктамасы, ошондой эле практикалык мисалдар менен ар кандай чечимдерди карап чыгабыз.

Функциянын чегин аныктоо

Функция чеги – бул функциянын мааниси анын аргументи чектөө чекитине тенденцияланган маани.

Лимит рекорду:

• чек белги менен көрсөтүлөт Лим;
• анын астына функциянын аргументи (өзгөрмөсү) кандай мааниге ыктаары кошулат. Адатта бул x, бирок сөзсүз түрдө эмес, мисалы:x→1″;
• анда функциянын өзү оң жагына кошулат, мисалы:

  

Ошентип, чектин акыркы жазуусу мындай көрүнөт (биздин учурда):

лайк окуйт "функциянын чеги, анткени х биримдикке умтулат".

x→ 1 - бул "x" ырааттуу түрдө биримдикке чексиз жакындаган баалуулуктарды кабыл алат, бирок аны менен эч качан дал келбейт (ага жетпейт).

Чечим чектөөлөрү

Берилген номер менен

Жогорудагы чекти чечели. Бул үчүн, жөн гана функциядагы бирдикти алмаштырыңыз (анткени x→1):

Ошентип, чекти чечүү үчүн, биз адегенде берилген санды анын астындагы функцияга жөн гана алмаштырууга аракет кылабыз (эгерде x белгилүү бир санга умтулса).

Чексиздик менен

Бул учурда функциянын аргументи чексиз көбөйөт, б.а. "X" чексиздикке (∞) умтулат. Мисалы:

If x→∞, анда берилген функция минус чексиздикке (-∞) умтулат, анткени:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 ж.б.

Дагы бир татаал мисал

Бул чекти чечүү үчүн, ошондой эле, жөн гана баалуулуктарды жогорулатуу x жана бул учурда функциянын "жүрүм-турумун" карап көрүңүз.

• RџSЂRё x = 1, у = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, у = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, у = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Ошентип, үчүн "X"чексиздикке умтулуу, функция x² +3x –6 чексиз өсөт.

Белгисиздик менен (x чексиздикке умтулат)

Мында сөз чектер жөнүндө болуп жатат, бул функция бөлчөк болгондо, анын алымы жана бөлүүчүсү көп мүчө болуп саналат. Кайда "X" чексиздикке умтулат.

мисал: төмөнкү чекти эсептеп көрөлү.

чечим

Алымдагы да, бөлүүчүдөгү да сөз айкаштары чексиздикке жакын. Бул учурда чечим төмөнкүдөй болот деп болжолдоого болот:

Бирок, баары ушунчалык жөнөкөй эмес. Лимитти чечүү үчүн биз төмөнкүлөрдү кылышыбыз керек:

1. Табуу x сан үчүн эң жогорку күчкө (биздин учурда бул эки).

2. Ошо сыяктуу эле, биз аныктайт x бөлүүчү үчүн эң жогорку күчкө (ошондой эле экиге барабар).

3. Эми алуучуну да, бөлүүчүнү да бөлүштүрөбүз x жогорку даражада. Биздин учурда, эки учурда - экинчи, бирок алар башка болсо, биз жогорку даражасын алышыбыз керек.

4. Натыйжада бардык бөлчөктөр нөлгө жакын, андыктан жооп 1/2.

Белгисиздик менен (x белгилүү бир санга умтулат)

Бөлүүчү да, бөлүүчү да көп мүчөлөр, бирок, "X" чексиздикке эмес, белгилүү бир санга умтулат.

Бул учурда бөлүүчү нөлгө барабар экендигине шарттуу түрдө көзүбүздү жумуп коёбуз.

мисал: Төмөнкү функциянын чегин табалы.

чечим

1. Биринчиден, 1 санын кайсы функцияга алмаштыралы "X". Биз карап жаткан форманын белгисиздигин алабыз.

2. Андан ары алым менен бөлүүчүнү факторлорго бөлөбүз. Бул үчүн, кыскартылган көбөйтүү формулаларын колдоно аласыз, эгерде алар ылайыктуу болсо, же.

Биздин учурда алымдагы туюнтумдун тамырлары (2x² – 5x + 3 = 0) 1 жана 1,5 сандары. Ошондуктан, аны төмөнкүчө чагылдырууга болот: 2(x-1)(x-1,5).

Бөлүүчү (x–1) башында жөнөкөй.

3. Биз мындай өзгөртүлгөн чекти алабыз:

4. Бөлчөктү кыскартууга болот (x–1):

5. Чектин астында алынган туюнтмадагы 1 санын алмаштыруу гана калды: